平行四邊形教案錦集8篇

　　作為一位無私奉獻的人民教師，就難以避免地要準備教案，教案是備課向課堂教學轉(zhuǎn)化的關節(jié)點。我們該怎么去寫教案呢？下面是小編為大家收集的平行四邊形教案8篇，歡迎閱讀與收藏。

平行四邊形教案 篇1

　　教學內(nèi)容：

　　人教版《義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學》五年級上冊第80、81頁的內(nèi)容。

　　教學目標：

　　1. 在理解的基礎上掌握平行四邊形的面積計算公式，能正確地計算平行四邊形的面積；

　　2. 通過操作、觀察、比較，發(fā)展學生的空間觀念，滲透轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)學生的分析、綜合、抽象、概括和解決實際問題的能力。

　　教學重點：

　　掌握平行四邊的面積計算公式，并能正確運用。

　　教學難點：

　　平行四邊形面積計算公式的推導。

　　教學過程：

　　一、情境激趣

　　1．播放運載“嫦娥一號”探月衛(wèi)星的火箭成功發(fā)射的錄像。

　　2．師：為了紀念這個有意義的時刻，我們學校的小朋友們在數(shù)學活動上利用一些圖形拼出了運載“嫦娥一號”的火箭模型呢！

　　3．（課件出示拼成的'模型）讓學生觀察火箭模型是由哪些圖形拼成的。

　　提問：如果比較這些圖形的大小，要知道它們的什么？哪些圖形的面積是我們已經(jīng)學過的？怎樣求？

　　4．比較其中的長方形和平行四邊形，誰的面積大，誰的面積小，可以用什么方法？（引導學生說出可以用數(shù)方格的方法。）

　　二、自主探究

　　1．數(shù)方格比較兩個圖形面積的大小。

　�。�1）提出要求：每個方格表示1平方厘米，不滿一格的都按半格計算。

　　（2）學生用數(shù)方格的方法計算兩個圖形的面積并填寫書上80頁表格。

　�。�3）反饋匯報數(shù)的結(jié)果，得出：用數(shù)方格的方法知道了兩個圖形的面積一樣大。

　�。�4）提出問題：如果平行四邊形很大，用數(shù)方格的方法麻煩，能不能找到一種方法來計算平行四邊形的面積？

　�。�5）觀察表格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

　�。�6）引導學生交流發(fā)現(xiàn)并全班反饋得出：平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，平行四邊形的面積和長方形的面積相等；平行四邊形的面積等于底乘高。

　　（7）提出猜想：平行四邊形的面積=底×高

　　2．操作驗證。

　�。�1）提出要求：請小朋友利用三角尺、剪刀，動手剪一剪拼一拼，把平行四邊形想辦法轉(zhuǎn)變成我們已學過面積計算的圖形，完成后和小組的同學互相交流自己的方法。

　�。�2）學生分組操作，教師巡視指導。

　�。�3）學生展示不同的方法把平行四邊形變成長方形。

　　（4）利用課件演示把平行四邊形變成長方形過程。

　　（5）觀察并思考以下兩個問題：

　�。�.拼成的長方形和原來的平行四邊形比較，什么變了？什么沒變？

　　B.拼成的長方形的長與寬分別與原來平行四邊形的底和高有什么關系？

　�。�6）交流反饋，引導學生得出：

　　A.形狀變了，面積沒變。

　　B.拼成的長方形，長與原來平行四邊形的底相等，寬與原來平行四邊形的高相等。

　�。�7）根據(jù)長方形的面積公式得出平行四邊形面積公式并用字母表示。

　�。�8）活動小結(jié)：我們把平行四邊形轉(zhuǎn)變成了同它面積相等的長方形，利用長方形面積計算公式得出了平行四邊的面積等于底乘高，驗證了前面的猜想。

　　3.教學例1。

　�。�1）（出示例1）平行四邊形的花壇的底是6 m，高是4 m。它的面積是多少？

　�。�2）學生獨立完成并反饋答案。

　　三、看書質(zhì)疑

　　四、課堂總結(jié)

　　通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？（學生自由回答。）

　　五、鞏固運用

　　1．練習十五第1題，讓學生獨立完成后反饋答案。

　　2．你會計算下面平行四邊形的面積嗎？

　　3．你能想辦法求出下面平行四邊形的面積嗎？

　　4．練習十五第3題。

　　六、全課小結(jié)（略）

平行四邊形教案 篇2

　　教學目標

　　1．使學生掌握平行四邊形的意義及特征，了解其特性，能夠正確畫出底所對應的高．

　　2．通過觀察、動手操作，培養(yǎng)學生抽象概括能力和初步的空間觀念．

　　教學重點

　　掌握平行四邊形的意義及特征．

　　教學難點

　　理解平行四邊形與長方形、正方形的關系．

　　教學過程

　　一、復習準備．

　　我們已經(jīng)學過一些幾何圖形，觀察一下這些圖形有什么共同特點？

　　在明確它們是由四條線段圍成的基礎上概括出：由四條線段圍成的圖形是四邊形．

　　教師提問：我們學過哪些四邊形呢？

　　學生舉例．

　　說說哪些物體表面是平行四邊形？

　　教師出示下圖，讓學生初步感知平行四邊形．

　　二、學習新課．

　　1．理解平行四邊形的意義．

　　首先出示一組圖形．

　　教師提問：這些圖形是什么形？它們有什么特征？

　�。�1）看到這個名稱你能想到什么？（板書：平行、四邊形）

　　教師提問：你認為什么是四邊形？你學過的什么圖形是四邊形的？

　　（2）動手測量．

　　指名到黑板上用三角板檢驗一下，每個圖形的對邊怎樣．

　　（3）抽象概括．

　　根據(jù)你測量的結(jié)果，能說說什么叫平行四邊形嗎？

　　小組先討論，再讓到黑板上測量的同學說出檢驗與測量的結(jié)果，從而引出平行四邊形的確切定義．（板書：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．）

　　教師強調(diào)說明：只要四邊形每組對邊分別平行就能確定它的兩組對邊相等，因此平行四邊形的定義是“兩組對邊分別平行的四邊形”．

　�。�4）反饋：判斷下面圖形哪些是平行四邊形？【演示課件“平行四邊形”，出示反饋練習】

　　2．平行四邊形的特征和特性．

　�。�1）教師演示．

　　教師拿一個長方形木框，用兩手捏住長方形的兩個對角，向相反方向拉．引導學生觀察兩組對邊有什么變化？拉成了什么圖形？什么沒有變？

　　學生明確：兩組對邊邊長沒有變，變成了平行四邊形，四個直角變成了銳角和鈍角．

　�。�2）動手操作．

　　學生自己動手，把準備好的長方形框拉成平行四邊形，并測量兩組對邊是否還平行．

　�。�3）歸納平行四邊形特性．

　　根據(jù)剛才的實驗、測量，引導學生概括出：平行四邊形具有不穩(wěn)定性．（板書：易變形）

　�。�4）對比．

　　三角形具有穩(wěn)定性，不容易變形．平行四邊形與三角形不同，容易變形，也就是具有不穩(wěn)定性．

　　這種不穩(wěn)定性在實踐中有廣泛的應用．你能舉出實際例子來嗎？

　�。ㄈ缙�車間的保護網(wǎng)，推拉門、放縮尺等．）

　　3．學習平行四形的底和高．

　�。�1）認識平行四邊形的底和高．

　　教師邊演示邊說明：從平行四邊形一條邊上的一點到對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高．這條對邊叫做平行四邊形的底．

　　（2）找出相應的底和高．【繼續(xù)演示課件“平行四邊形”】

　　引導學生觀察：圖中有幾條高？它位相對應的底各是哪條線段？

　　使學生明確：從B點畫高，它的底是CD；從D點畫高，它的底是BC．

　�。�3）畫平行四邊形的高．【繼續(xù)演示課件“平行四邊形”】

　　教師說明：平行四邊形高的畫法與三角形畫高的方法基本相同，都用過直線外一點畫已知直線的垂線的方法．從一條邊上任意一點都可以向它的對邊畫高，但通常是從一個角的頂點向它的對邊畫高．這里高要畫在平行四邊形內(nèi)，不要求把高畫在底邊的延長線上．

　　①教師利用長方形框，拉動長方形的邊，使其變成不同的平行四邊形．（還可以把平行四邊形變成長方形）

　　引導學生比較長方形和平行四邊形的`異同點，使學生明確：

　　相同點是兩組都分別平行，所以長方形也具有平行四邊形的特征，也屬于平行四邊形．不同點是長方形的四個角都是直角，所以把長方形看作是特殊的平行四邊形．

　�、谝龑�學生比較正方形和平行四邊形的相同點和不同點．

　　使學生明確：正方形也是兩組對邊分別平行，四個角也是直角，正方形也可看作是特殊的平行四邊形．因為長方形和正方形都有兩組對邊分別平行，四個角是直角的共同點，而正方形還有四條邊相等的這一特征，因此正方形可看作是特殊的長方形．

　�、圻@三種圖形之間的關系可以用集合圖來表示【繼續(xù)演示課件“平行四邊形”】

　　三、鞏固練習．【繼續(xù)演示課件“平行四邊形”】

　　1．判斷下列圖形哪些是平行四邊形？

　　2．指出平行四邊形的底，并畫出相應的高．

　　3．在釘子板上圍出不同的平行四邊形．

　　4．數(shù)一數(shù)下圖中有（ ）個平行四邊形．

　　四、教師小結(jié)．

　　1．提問：通過今天的學習，你都學會了什么？（平行四邊形的意義，特征及特性）

　　2．組織學生對所學知識提出質(zhì)疑，并解疑．

　　3．教師提問：我們已學過的長方形、正方形是平行四邊形嗎？它們有什么關系？（因為長、正方形也具備平行四邊形的特點所以長、正方形是特殊的平行四邊形）

　　五、布置作業(yè)．

　　1．用一套七巧板拼出不同的平行四邊形．

　　2．在下面每個平行四邊形中分別畫出兩條不同的高。

平行四邊形教案 篇3

　　教學目標

　　1、使學生在理解的基礎上掌握平行四邊形面積的計算公式，并會運用公式正確地計算平行四邊形的面積。

　　2．通過操作、觀察、比較，發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生運用轉(zhuǎn)化的思考方法解決問題的能力和邏輯思維能力。

　　3．對學生進行辯詐唯物主義觀點的啟蒙教育。

　　教學重點

　　理解公式并正確計算平行四邊形的面積。

　　教學難點

　　理解平行四邊形面積公式的推導過程。

　　教學過程

　　一、復習引入

　　1．拿出事先準備好的長方形和平行四邊形。量出它的長和寬（平行四邊形量出底和高）。

　　2．觀察老師出示的幾個平行四邊形，指出它的底和高。

　　3．教師出示一個長方形和一個平行四邊形。

　　猜測：

　　哪一個圖形面積比較大？大多少平方厘米呢？

　　師：要想我們準確的答案，就要用到今天所學的知識--平行四邊形面積的計算（板書課題）

　　二、指導探究

　　1．數(shù)方格方法

　�。�1）小組合作討論：

　　a．圖上標的厘米表示什么？每個小方格表示1平方厘米為什么？

　　b．長方形的長是多少厘米？寬是多少厘米？面積是多少平方厘米？

　　c．用數(shù)方格的方法，求出平行四邊形的面積？（不滿一格的，都按半格計算）

　　d．比較平行四邊形的底和長方形的長，再比較平行四邊形的高和長方形的寬，你發(fā)現(xiàn)了什么？

　�。�2）集體訂正

　�。�3）請同學評價一下用數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積。

　　（麻煩，有局限性）

　　2．探索平行四邊形面積的'計算公式。

　　（1）教師講話：不數(shù)方格怎樣能夠計算平行四邊形的面積呢？想一想，如果我們把平行四邊形轉(zhuǎn)化成我們過去學過的圖形，就可以根據(jù)已學過的面積公式計算出它的面積了，轉(zhuǎn)化成什么圖形，怎樣轉(zhuǎn)化呢？請大家拿出手里的學具試試看。

　�。�2）學生動手剪拼（可以小組合作），并向周圍同學說一說是怎樣轉(zhuǎn)化的。

　�。�3）同學到前面演示轉(zhuǎn)化的方法。

　�。�4）教師演示課件并組織學生討論：

　�、倨叫兴倪呅魏娃D(zhuǎn)化后的長方形有什么關系？

　�、谠鯓佑嬎闫叫兴倪呅蔚拿娣e？為什么？

　�、廴绻�用S表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用n表示平行四邊形的高，那么平行四邊形面積的字母公式是什么？

　　3、應用

　　例1一塊平行四邊形鋼板，它的面積是多少？（得數(shù)保留整數(shù)）

　　4.83.517（平方米）

　　答：它的面積約是17平方米。

　　三、質(zhì)疑小結(jié)

　　今天你學到了哪些知識？怎樣計算平行四邊形面積？

　　四、鞏固練習

　　1、列式并計算面積

　�、俚桌迕祝�高厘米，

　　②底米，高米，

　　③底分米，高分米

　　2、說出下面每個平行四邊形的底和高，計算它們的面積。

　　3、應用題

　　有一塊地近似平行四邊形，底是43米，商是20.1米，這塊地的面積約是多少平方米？（得數(shù)保留整數(shù)）

　　4、量出你手里平行四邊形學具的底和高，并計算出它的面積。

平行四邊形教案 篇4

　　教學過程

　　一、課堂引入

　　1．平行四邊形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；它們之間有什么聯(lián)系？

　　2．你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎？

　　（答：平行四邊形知識的運用包括三個方面：一是直接運用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題．例如求角的度數(shù)，線段的長度，證明角相等或線段相等等；二是判定一個四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等；三是先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再眼再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題．）

　　3．創(chuàng)設情境

　　實驗：請同學們思考：將任意一個三角形分成四個全等的三角形，你是如何切割的？（答案如圖）

　　圖中有幾個平行四邊形？你是如何判斷的？

　　二、例習題分析

　　例1（教材P98例4）如圖，點D、E、分別為△ABC邊AB、AC的中點，求證：DE∥BC且DE=BC．

　　分析：所證明的結(jié)論既有平行關系，又有數(shù)量關系，聯(lián)想已學過的知識，可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個平行四邊形中，利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立，從而使問題得到解決，這就需要添加適當?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形．

　　方法1：如圖（1），延長DE到F，使EF=DE，連接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四邊形BCFD是平行四邊形．所以DF∥BC，DF=BC，因為DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

　　（也可以過點C作CF∥AB交DE的延長線于F點，證明方法與上面大體相同）

　　方法2：如圖（2），延長DE到F，使EF=DE，連接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以AD∥FC，且AD=FC．因為AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四邊形ADCF是平行四邊形．所以DF∥BC，且DF=BC，因為DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．

　　定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．

　　【思考】：

　�。�1）想一想：①一個三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？

　　（2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的'關系？

　�。ù穑海�1）一個三角形的中位線共有三條；三角形的中位線與中線的區(qū)別主要是線段的端點不同．中位線是中點與中點的連線；中線是頂點與對邊中點的連線．（2）三角形的中位線與第三邊的關系：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半．）

　　三角形中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行與第三邊，且等于第三邊的一半。

平行四邊形教案 篇5

　　一、學習目標

　�。�、經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力。

　　2、 會進行簡單的多項式與多項式的乘法運算

　　二、學習過程

　�。ㄒ唬┳詫W導航

　　1、創(chuàng)設情境

　　某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。

　　這塊林區(qū)現(xiàn)在的長為 米，寬為 米。因而面積為________米2。

　　還可以把這塊林地分為四小塊，它們的面積分別為 米2， 米2，_______米2， 米2。故這塊地的面積為 。

　　由于這兩個算式表示的都是同一塊地的面積，則有 =

　　如果把（m+n）看作一個整體，你還能用別的方法得到這個等式嗎？

　　2、概括：

　　多項式乘以多項式的法則：

　　3、計算

　�。�1） （2）

　　4、練一練

　�。�1）

　�。ǘ�）合作攻關

　　1、某酒店的廚房進行改造，在廚房的中間設計一個準備臺，要求四面的過道寬都為x米，已知廚房的長寬分別為8米和5米，用代數(shù)式表示該廚房過道的總面積。

　　2、解方程

　　（三）達標訓練

　　1、填空題：

　�。�1） = =

　�。�2） = 。

　　2、計算

　　（1） （2）

　�。�3） (4)

　�。ㄋ模┨嵘�

　　1、怎樣進行多項式與多項式的乘法運算？

　　2、若 的乘積中不含 和 項，則a= b=

　　應用題

　　第三十五講 應用題

　　在本講中將介紹各類應用題的解法與技巧．

　　當今數(shù)學已經(jīng)滲入到整個社會的各個領域，因此，應用數(shù)學去觀察、分析日常生活現(xiàn)象，去解決日常生活問題，成為各類數(shù)學競賽的一個熱點．

　　應用性問題能引導學生關心生活、關心社會，使學生充分到數(shù)學與自然和人類社會的密切聯(lián)系，增強對數(shù)學的理解和應用數(shù)學的信心．

　　解答應用性問題，關鍵是要學會運用數(shù)學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題，揭示其數(shù)學本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型．其求解程序如下：

　　在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學模型有：數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等．

　　例題求解

　　一、用數(shù)式模型解決應用題

　　數(shù)與式是最基本的數(shù)學語言，由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數(shù)學的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因而成為描述和表達數(shù)學問題的重要方法．

　　【例1】(20xx年安徽中考題)某風景區(qū)對5個旅游景點的門票價格進行了調(diào)整，據(jù)統(tǒng)計，調(diào)價前后各景點的游客人數(shù)基本不變。有關數(shù)據(jù)如下表所示：

　　景點ABCDE

　　原價（元）1010152025

　　現(xiàn)價（元）55152530

　　平均日人數(shù)（千人）11232

　�。�1）該風景區(qū)稱調(diào)整前后這5個景點門票的平均收費不變，平均日總收入持平。問風景區(qū)是怎樣計算的？

　�。�2）另一方面，游客認為調(diào)整收費后風景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價前，實際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計算的？

　　（3）你認為風景區(qū)和游客哪一個的說法較能反映整體實際？

　　思路點撥 （1）風景區(qū)是這樣計算的：

　　調(diào)整前的平均價格： ，設整后的平均價格：

　　∵調(diào)整前后的平均價格不變，平均日人數(shù)不變．

　　∴平均日總收入持平．

　　（ 2）游客是這樣計算的：

　　原平均日總收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元）

　　現(xiàn)平均日總收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元）

　　∴平均日總收入增加了

　�。�3）游客的說法較能反映整體實際．

　　二、用方程模型解應用題

　　研究和解決生產(chǎn)實際和現(xiàn)實生恬中有關問題常常要用到方程<組)的知識，它可以幫助人們從數(shù)量關系和相等關系的角度去認識和理解現(xiàn)實世界．

　　【例2】 (重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同．安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2min內(nèi)可以通過560名學生；當同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4mln內(nèi)可以通過800名學生．

　　(1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學生?

　　(2)檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率降低20％．安全檢查規(guī)定：在緊急情況下全大樓的學生應在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離．假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問：建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由．

　　思路點撥 列方程(組)的關鍵是找到題中等量關系：兩種測試中通過的學生數(shù)量．設未知數(shù)時一般問什么設什么．“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學生總數(shù)．

　　(1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側(cè)門可以通過y名學生，由題意得：

　　,解得：

　　(2)這棟樓最多有學生4×8×4 5=1440(名)．

　　擁擠時5min4道門能通過．

　　5×2(120+80)(1－20％)=1600(名),

　　因1600>1440，故建造的4道門符合安全規(guī)定．

　　三、用不等式模型解應用題

　　現(xiàn)實世界中的不等關系是普遍存在的，許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關系，只需要確定某個量的變化范圍，即可對所研究的問題有比較清楚的認識．

　　【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富，一年內(nèi)月平均的風速不小于3m／s的時間共約160天，其中日平均風速不小于6m／s的時間占60天．為了充分利用“風能”這種“綠色資源”，該地擬建一個小型風力發(fā)電場，決定選用A、B兩種型號的風力發(fā)電機，根據(jù)產(chǎn)品說明，這兩種風力發(fā)電機在各種風速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表：一天的發(fā)電量)如下表：

　　日平均風速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

　　日發(fā)電量 (千瓦?時)A型發(fā)電機O≥36≥150

　　B型發(fā)電機O≥24≥90

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　(1)若這個發(fā)電場購x臺A型風力發(fā)電機，則預計這些A型風力發(fā)電機一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時；

　　(2)已知A型風力發(fā)電機每臺O.3萬元，B型風力發(fā)電機每臺O.2萬元．該發(fā)電場擬購置風力發(fā)電機共10臺，希望購機的費用不超過2.6萬元，而建成的風力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時，請你提供符合條件的購機方案．

　　根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答：

　　思路點撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x；

　　(2)設購A型發(fā)電機x臺，則購B型發(fā)電機(10—x)臺,

　　解法一根據(jù)題意得：

　　解得5≤x ≤6．

　　故可購A型發(fā)電機5臺，B型發(fā)電機5臺；或購A型發(fā)電機6臺，B型發(fā)電視4臺．

　　四、用函數(shù)知識解決的應用題

　　函數(shù)類應用問題主要有以下兩種類型：(1)從實際問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，建立函數(shù)關系；(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關系式．

　　【例4】 (揚州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下，創(chuàng)辦了“潤楊”報刊零售點．對經(jīng)營的某種晚報，楊嫂提供丁如下信息：

　�、儋I進每份0.20元，賣出每份0.30元；

　　②一個月內(nèi)(以30天計)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天只能賣出120份；

　　③一個月內(nèi)，每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同．當天賣不掉的報紙，以每份0.10元退回給報社；

　　(1)填表：

　　一個月內(nèi)每天買進該種晚報的份數(shù)100150

　　當月利潤(單位：元)

　　(2)設每天從報社買進該種晚報x份，120≤x≤200時，月利潤為y元，試求出y與x的函數(shù)關系式，并求月利潤的最大值．

　　思路點撥(1)填表：

　　一個月內(nèi)每天買進該種晚報的份數(shù)100150

　　當月利潤(單位：元)300390

　　(2)由題意可知，一個月內(nèi)的20天可獲利潤：

　　20×=2x(元)；其余10天可獲利潤：

　　10=240—x(元)；

　　故y=x+240，(120≤x≤200)， 當x=200時，月利潤y的最大值為440元．

　　注 根據(jù)題意，正確列出函數(shù)關系式，是解決問題的關鍵，這里特別要注意自變量x的取值范圍．

　　另外，初三還會提及統(tǒng)計型應用題，幾何型應用題．

　　【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程．如果由甲、乙兩個工程隊合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10天完成．

　　（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù)．

　　(2)如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用200 0元；如果請乙工程隊施工，公司每日需付費用1400元．在規(guī)定時間內(nèi)：A．請甲隊單獨完成此項工程；B．請乙隊單獨完成此項工 程； C．請甲、乙兩隊合作完成此項工程．以上方案哪一種花錢最少?

　　思路點撥 這是一道策略優(yōu)選問題．工程問題中：工作量=工作效率×工時．

　　(1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天，根據(jù)題意得：

　　, x=30合題意，

　　所以，甲工程隊單獨完成此項工程需用20天，乙隊需30天．

　　(2)各種方案所需的費用分別為：

　　A．請甲隊需20xx×20=40000元；

　　B．請乙隊需1400×30=4200元；

　　C．請甲、乙兩隊合作需(20xx+1400)×12=40800元．

　　所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少．

　　【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態(tài)區(qū)，他們以每天17km的速度出發(fā)，沿河岸向上游行進若干天后到達目的地，然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天，完成任務后以每天25km的速度返回，在出發(fā)后的第60天，考察隊行進了24km后回到出發(fā)點，試問：科學考察隊的生態(tài)區(qū)考察了多少天?

　　思路點撥 挖掘題目中隱藏條件是關鍵!

　　設考察隊到 生態(tài)區(qū)去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，則x+y+z=60，

　　17x－25y=－1，即25y－17x=1． ①

　　這里x、y是正整數(shù)，現(xiàn)設 法求出①的`一組合題意的解，然后計算出z的值．

　　為此，先求出①的一組特殊解(x0，y0)，(這里x0，y0可以是負整數(shù))．用輾轉(zhuǎn)相除法．

　　25=l ×17+8，17=2×8+1，故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25．

　　與①的左端比較可知，x0 =－3，y0=－2．

　　下面再求出①的合題意的解．

　　由不定方程的知識可知，①的一切整數(shù)解可表示為x=－3+25t，y=－2+17t，

　　∴ x+y=42t－5，t為整數(shù)．按題意0

　　∴z=60—(x+y)=23．

　　答：考察隊在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天．

　　注 本題涉及到的未知量多，最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解，希讀者仔細咀嚼所用方法．

　　【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優(yōu)惠購物，規(guī)定如下：

　　(1)若一次購物少于200元，則不予優(yōu)惠；

　　(2)若一次購物滿200元，但不超過500元，按標價給予九折優(yōu)惠；

　　(3)若一次購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折 優(yōu)惠．

　　小明兩次去該超市購物，分別付款198元與554元．現(xiàn)在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品，他需付款多少?

　　思路點撥 應付198元購物款討論：

　　第一次付款198元，可是所購物品的實價，未 享受優(yōu)惠；也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款．故應分兩種情況加以討論．

　　情形1 當198元為購物不打折付的錢時，所購物品的原價為198元 ．

　　又554=450+104，其中450元為購物500元打九折付的錢，104元為購物打八折付的錢；104÷0. 8 =130(元)．

　　因此，554元所購物品的原價為130+500=630(元)，于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品，小亮一次性購買應付500×0.9+(828－500)×0.8=712.4（元）．

　　情形2 當198元為購物打九折付的錢時，所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) ．仿情形1的討論，，購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850－500)×0.8=730(元)．

　　綜上所述，小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品，應付款712.40元或730元

　　【例8】 (20xx年全國數(shù)學競賽題)某項工程，如果由甲、乙兩隊承包，2 天完成，需180000元；由乙、丙兩隊承包，3 天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，2 天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少?

　　思路點撥 關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數(shù)及獨做時各方日付工資．分兩個層次考慮：

　　設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成．

　　則 ，解得

　　再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付u、v、w元，

　　則 ，解得

　　于是，由甲隊單獨承包，費用是45500×4=182000 (元)．

　　由乙隊單獨承包，費用是29500×6= 177000 (元)．

　　而丙隊不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊承包費用最少．

　　學歷訓練

　�。ˋ級）

　　1．(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中，為防止疫情擴散，某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務．在生產(chǎn)了60箱后，需要加快生產(chǎn)，每天比原來多生產(chǎn)15箱，結(jié)果6天就完成了任務．求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?

　　2．(山東省競賽題)某市為鼓勵節(jié)約用水，對自來水妁收費標準作如下規(guī)定：每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元／噸收費；超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費；超過20t部分按每噸1.50元收費，某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元，乙戶比丙戶多繳水費3.75元，問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)

　　3．(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題．試問：難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

　　4．某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案，一種出租車收費標準是起步價10元，每千米1.2元；另一種出租車收費標準是起步價8元，每千米1.4元，問選擇哪一種出租車比較合適?

　　(提示：根據(jù)目前出租車管理條例，車型不同，起步價可以不同，但起步價的最大行駛里程是相同的，且此里程內(nèi)只收起步價而不管其行駛里程是多少)

　�。˙級）

　　1．(全國初中數(shù)學競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40min可抽完；如果用4臺抽水機抽，16min可抽完．如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水機 臺．

　　2．(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價：800元／臺．甲商場用如下辦法促銷：

　　購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

　　每臺價格760元720元680元640元600元

　　乙商場用如下辦法促銷：每次購買1~8臺，每臺打九折；每次購買9~16臺，每臺打八五折； 每次購買17~24臺，每臺打八折；每次購買24臺以上，每臺打七五折．

　�。�1）請仿照甲商場的促銷列表，列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價格的對照表；

　　(2)現(xiàn)在有A、B、C三個單位，且單位要買10臺VCD，B單位要買16臺VCD，C單位要買20臺VCD，問他們到哪家商場購買花費較少?

　　3．(河北創(chuàng)新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣．請你據(jù)此設計兌換方案．

　　4．從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛)，如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的兩倍，已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級)．問：

　　(1)扶梯露在外面的部分有多少級?

　　(2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯，樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等，兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?

　　5．某化肥廠庫存三種不同的混合肥，第一種 含磷60％，鉀40％，第二種含鉀10％，氮90％；第三種含鉀50％，磷20％，氮30％，現(xiàn)將三種肥混合成含氮45％的混合肥100?(每種肥都必須取)，試問在這三種不同混合肥的不同取量中，新混合肥含鉀的取值范圍．

　　6．(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E，它們的產(chǎn)量，(單位：噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示，要建一座永久性打麥場，這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場．問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量，直線段上的字母a、b、d表示距離，且b < a

　　多邊形的邊角與對角線

　　j.Co M

　　第十四講 多邊形的邊角與對角線

　　邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念，求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關的基本問題，常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識．

　　多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性：(n－2)×180°隨n的變化而變化；而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律；360°是一個常數(shù)，把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧．

　　將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略，連對角線或向外補形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法，從凸 邊形的一個頂點引出的對角線把 凸 邊形分成 個多角形，凸n邊形一共可引出 對角線．

　　例題求解

　　【例1】在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為20xx°，則這個多邊形的邊數(shù)是 ．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點撥 設除去的角為°，y°，多邊形的邊數(shù) 為 ，可建立關于x、y的不定方程；又0°

　　鏈接 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程，點是幾何學最原始的概念，點生線、線生面、面生體，幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形，另一方面，不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)，多邊形可分成三角形，三角形可以合成其他

　　一些幾何圖形．

　　【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中，銳角的個數(shù)最多是( )

　　A．0 B．1 C．3 D．5

　　(全國初中數(shù)學競賽題)

　　思路點撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的，而外角和卻總是不變的，因此，可把內(nèi)角為銳角的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個數(shù)的探討．

　　【例3】 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角)，并分別寫出所拼四邊形的對角線的長．

　　(烏魯木齊市中考題)

　　思路點撥 把動手操作與合情想象相結(jié)合 ，解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形．

　　注 教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題，簡單地說，“數(shù)學建�！本褪峭ㄟ^數(shù)學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數(shù)學問題，再運用相應的數(shù)學知識方法(模型)解決問題．

　　本例通過設元，把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式，通過不定方程求解．

　　【例4】 在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌)，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就拼成了一個平面圖形．

　　(1)請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：

　　(2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?

　　(3)從正三角形、正四邊形，正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖)；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由．

　　(陜西省中考題)

　　思路點撥 本例主要研究兩個問題：①如果限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；②選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性．假定正n邊形滿足鋪砌要求，那么在它的頂點接合的地方，n個內(nèi)角的和為360°，這樣，將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．

　　【例5】 如圖，五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位，得到新的五邊形A'B'C'D'E'．

　�。�1）圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由．

　　(2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位．

　　(江蘇省競賽題)

　　思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件：，A'GB'； B'PC'； C'ND'；D'LE'；E'IA'三點分別共線；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°；(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I，用圓的周長逼近估算．

　　1．如圖，用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形，再沿對角線把它分成兩個三角形，用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來，其中周長最大的是 ?，周長最小的是 cm．

　　(選6《莢國中小學數(shù)學課程標準》)

　　2．如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．

　　3．如圖，ABCD是凸四邊形，AB=2，BC=4，CD=7，則線段AD的取值范圍是 ．

　　4．用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：

　　(1)第4個圖案中有白色地面磚 塊；

　　(2)第n個圖案中有白色地面磚 塊．

　　(江西省中考題)

　　5．凸n邊形中有且僅有兩個內(nèi)角為鈍角，則n的最大值是( )

　　A．4 B．5 C． 6 D．7

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　6．一個凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°，那么，從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )

　　A．9條 B．8條 C．7條 D． 6條

　　7．有一個邊長為4m的正六邊形客廳，用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿，則需要這種瓷磚( )

　　A．216塊 B．288塊 C．384塊 D．512塊

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　8．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，△ACD是一個含有30°角的直角三角形，現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD．

　�。�1）)畫出四邊形ABCD；

　　(2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長．

　　(上海市閔行區(qū)中考題)

　　9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC=90°，∠BCD＝150°，求∠BAD的度數(shù)．

　　(北京市競賽題)

　　10．如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，Bl是A1的對邊A3A4的中點，連結(jié)A1B1，我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分，求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行．

　　(安徽省中考題)

　　11．如圖，凸四邊形有 個；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．

　　(重慶市競賽題)

　　12．如圖，延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角，∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5，它們的和等于 ；若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，則得到的n個角的和等于 ．

　　( “希望杯”邀請賽試題)

　　13．設有一個邊長為1的正三角形，記作A1(圖a)，將每條邊三等分，在中間的線段上向外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b)，再將每條邊三等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A3(圖c)；再將每條邊三 等分，并重復上述過程，所得到的圖形記作A4，那么，A4的周長是 ；A4這個多邊形的面積是原三角形面積的 倍．

　　(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)

　　14．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A—CD=3，則BC+DC= ． (北京市競賽題)

　　15．在一個n邊形中，除了一個內(nèi)角外，其余(n一1)個內(nèi)角的和為2750°，則這個內(nèi)角的度數(shù)為( )

　　A．130° D．140° C ．105° D．120°

　　16．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=2 ，AC=6，AD=3，則CD的長為( )

　　A．4 B．4 C．3 D． 3 (江蘇省競賽題)

　　注 按題中的方法'不斷地做下去，就會成為下圖那樣的圖形，它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學家)，這類圖形稱為“分形”，大量的物理、生物與數(shù)學現(xiàn)象都導致分形，分形是新興學科“混沌”的重要分支．

　　17．如圖，設∠CGE=α，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

　　A．360°一α B．270°一αC．180°+α D．2α

　　(山東省競賽題)

　　18．平面上有A、B，C、D四點，其中任何三點都不在一直線上，求證：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內(nèi)角不超過45°．

　　19．一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果用較小的相同正方形地磚，那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地，已知n及地磚的邊長都是整數(shù)，求n． (上海市競賽題)

　　20．如圖，凸八邊形ABCDEFGH的8 個內(nèi)角都相等，邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7，4，2，5，6，2，求該八邊形的周長．

　　21．如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開后支撐起來放在地面上的情況，如果折疊起來，床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的)，活動床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設計而成的，其折疊過程可由圖2的變換反映出來．

　　如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長時，才能實現(xiàn)上述的折疊變化?

　　(淄博市中考題)

　　22．一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成，求此凸n邊形各個內(nèi)角的大小，并畫出這樣的 凸n邊形的草圖．

　　圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

　　前蘇聯(lián)數(shù)學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質(zhì)的學科．

　　幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換．

　　如圖1，若把平面圖形Fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形F2后，則由的變換叫平移變換．

　　平移前后的圖形全等，對應線段平行且相等，對應角相等．

　　如圖2，若把平面圖Fl繞一定點旋轉(zhuǎn)一個角度得到圖形F2，則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，其中定點叫旋轉(zhuǎn)中心，定角叫旋轉(zhuǎn)角．

　　旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應線段相等，對應角相等，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．

　　通過平移或旋轉(zhuǎn)，把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與待求結(jié)論之間的關系明朗化，促使問題的解決．

　　注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換．等積變換，只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換，只保留線段間的比例關系，而線段本身的大小要改變．

　　例題求解

　　【例1】如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA：PB：PC＝1：2：3，則∠APD= ．

　　思路點撥 通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關聯(lián)的線段集中到同一個三角形．

　　【例2】 如圖，在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M，N，使∠MCN=45°，記AM＝m，MN= x，DN=n，則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

　　A．銳角三角形 B．直角三角形

　　C．鈍角三角形 D．隨x、m、n的變化而改變

　　思路點撥 把△ACN繞C點順時針旋轉(zhuǎn)45°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．

　　注 下列情形，常實施旋轉(zhuǎn)變換：

　　(1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°；

　　(2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對稱全等三角形；

　　(3)圖形中出現(xiàn)有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．

　　【例3】 如圖，六邊形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，對邊之差BC－EF＝ED?AB＝AF?CD>0，求證：該六邊形的各角相等．

　　(全俄數(shù)學奧林匹克競賽題)

　　思路點撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個基本圖形表示，題設中有平行條件，可考慮實施平移變換．

　　注 平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)，平移變換可將角，線段移到適當?shù)奈恢�，使分散的條件相對集中，促使問題的解決．

　　【例4】 如圖，在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點E和F，使AE=CF．已知BC=2，求證：EF≥1． (西安市競賽題)

　　思路點撥 本例實際上就是證明2EF≥BC，不便直接證明，通過平移把BC與EF集中到同一個三角形中．

　　注 三角形中的不等關系，涉及到以下基本知識：

　　(1)兩點間線段最短，垂線段最短；

　　(2)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

　　(3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊)，三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．

　　【例5】 如圖，等邊△ABC的邊長為 ，點P是△ABC內(nèi)的一點，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的長． (“希望杯”邀請賽試題)

　　思路點撥 題設條件滿足勾股關系PA2+PB2＝PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形，不能直接應用，通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個三角形中，這是解本例的關 鍵．

　　學歷訓練

　　1．如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，現(xiàn)將△ABP繞點B顧時針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合，若PB=3，則PP′= ．

　　2．如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA＝6，PB=8，PC＝10，則∠APB ．

　　3．如圖，四邊形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，則CD的長為 ．

　　4．如圖，把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置，它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半，若AB= ，則此三角形移動的距離AA'是( )

　　A． B． C．l D． (20xx年荊州市中考題)

　　5．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點C、F，給出以下四個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP．

　　當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與A、B重合)，上述結(jié)論中始終正確的有( )

　　A．1個 B．2個 C ．3個 D．4個

　　(20xx年江蘇省蘇州市中考題)

　　6．如圖，在四邊形 ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E， S四邊形ABCD d=8，則BE的長為( )

　　A．2 B．3 C ． D． (20xx年武漢市選拔賽試題)

　　7．如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ，對角線BD、FH都在直線 上，O1、O2分別為正方形的中心，線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距，當中心O2在直線 上平移時，正方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化．

　　(1)計算：O1D= ，O2F= ；

　　(2)當中心O2在直線 上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距O1O2= ；

　　(3)隨著中心O2在直線 上平移，兩個正方形的公共點的個數(shù)還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫出計算過程)． (徐州市中考題)

　　8．圖形的操做過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直 方向的邊長均為b）：

　　在圖a中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

　　在圖b中， 將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3（即陰影部分）；

　�。�1）在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影；

　　（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1= ，,S2= ，S3= ；

　�。�3）聯(lián)想與探索：

　　如圖d，在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的．

　　(20xx年河北省中考題)

　　9．如圖，已知點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN＝BM．

　　說明及要求：本題是《幾何》第二冊幾15中第13題，現(xiàn)要求：

　　(1)將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點落在CB上，請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)．

　　(2)在①所得的圖形中，結(jié)論“AN＝BM”是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　　(3)在①得到的圖形中，設MA的延長線與BN相交于D點，請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論．

　　10．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜邊BC上距離B點3cm的點P為中心，把這個三角形按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，則旋轉(zhuǎn)前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2．

　　11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE、BC的延長線交于點F，若AE=10，則S△ADE+S△CEF的值是 ．

　　(紹興市中考題)

　　12．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC內(nèi)一點，則PA+PB+PC與AB+AC的大小關系是( )

　　A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PCC． PA+PB+PC＝AB+AC D．無法確定

　　13．如圖，設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3，則PC所能達到的最大值為( )

　　A． B． C ．5 D．6

　　(20xx年武漢市選拔賽試題)

　　14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC 延長線上一點，BD=CE，連DE，求證：DE>DC．

　　15．如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點，PA、PB、PC的長為正整數(shù)，且PA2+PB2=PC2，設PA=m，n為大于5的實數(shù)，滿 ，求△ABC的面積．

　　16．如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河， ∥ 表示小河甲， ∥ 表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離(與小河平行方向)120米，為使A、B兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那么，此時A、D兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

　　17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC內(nèi)一點，點O到△ABC各邊的距離都等于1，將△ABC繞 點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，得△A1BlC1 ，兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ．

　　(1)證明：△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；

　　(2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積． (山東省競賽題)

　　18．(1)操作與證明：如圖1，O是邊長為a的正方形ACBD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值．

　　(2)嘗試與思考：如圖2，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)， 當扇形紙板的圓心角為 時，正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a；當扇形紙板的圓心角為 時，正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a．

　　(3)探究與引申：一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉(zhuǎn)．當扇形紙板的圓心角為 時，正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a；這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值，寫出它與正n邊形面積S之間的關系；若不是定值，請說明理由．

平行四邊形教案 篇6

　　教學目標：

　　結(jié)合生活情境和實際操作，直觀地認識平行四邊形。

　　教學設計：

　　(一)創(chuàng)設活動情境

　　師：同學們，你們喜歡變魔術嗎?

　　(生自由回答。)

　　師：現(xiàn)在老師要變魔術給你們看一看。

　　(教師拿出一個長方形教具，拉動長方形框架對角使其變?yōu)榱硪粋�圖形。向不同的方向拉，這樣反復做幾次。)

　　師：你們想不想試一試? (學生躍躍欲試。)

　　(二)探索新知

　　1.做一做

　　(1)師：同學們，你們可以親自動手做一做。你在拉動時注意觀察拉動后的長方形發(fā)生了哪些變化?這個新圖形又是什么樣的?并把自己的想法與同伴說一說。

　　(以小組為單位開始活動，教師在小組內(nèi)隨時指導。)

　　(通過動手操作，學生不難發(fā)現(xiàn)長方形拉動后角不再是直角了或是角的大小變了，但邊的長短沒有變。)

　　(2)以小組匯報方式在全班反饋：新圖形與長方形的聯(lián)系與區(qū)別，描述新圖形的形狀。

　　(學生語言表達不一定清楚，但只要意思對，教師這時都要給予鼓勵。)

　　(3)你們知道長方形變化后得到的是什么圖形嗎?

　　(學生回答。這時有的學生能結(jié)合自己的生活經(jīng)驗說出這是平行四邊形，如說不出教師可以直接揭示。)

　　(設計意圖通過動手操作，讓學生根據(jù)自己的活動體驗、小組交流自主發(fā)現(xiàn)平行四邊形與長方形的聯(lián)系與區(qū)別。)

　　2.說一說

　　(1)師：這樣的圖形你們在生活中見過嗎?在哪兒?

　　(給學生思考時間，引導學生在小組內(nèi)說一說。)

　　(設計意圖讓學生先獨立思考是為了有較完整的思維，小組交流是讓每個學生都能參與進來。)

　　(2)小組形式匯報反饋。

　　當學生語言表達不清時，要在尊重學生的基礎上，鼓勵他把話說完整。

　　(3)課件演示生活中見到的平行四邊形。

　　(設計意圖通過真實的生活情境進一步認識平行四邊形，讓學生感到平行四邊形離我們并不遠。)

　　3.畫一畫

　　(1)師：你們想把剛才在生活中找到的這些平行四邊形在點子圖中畫出來嗎?

　　(2)出示附頁3中的點子圖。學生動手畫一畫。

　　(對有困難的學生，教師要隨機指導。)

　　(3)展示作品，引導學生參與評價。

　　(設計意圖尊重學生的個性發(fā)展，在評價中自我反思。)

　　4.拼一拼

　　(以游戲的方式進行。)

　　(1)師：現(xiàn)在我們來做拼圖游戲，用你們手中的七巧板來拼一拼今天我們認識的.平行四邊形。

　　(2)生進行拼圖游戲，教師巡視指導。

　　(鼓勵學生用多種組合拼出平行四邊形。學生拼圖過程中可以與同伴隨意交流。)

　　(設計意圖學生經(jīng)過以上的數(shù)學活動，可能已經(jīng)疲勞了，根據(jù)兒童的心理特點，此活動以游戲的方式進行，讓學生在輕松、愉快的氣氛中拼一拼，進一步直觀認識平行四邊形。)

　　(三)小結(jié)本節(jié)課內(nèi)容，布置實踐作業(yè)

　　這節(jié)課我們認識了一個新圖形――平行四邊形，并知道在我們的生活中可以找到它。請你們對生活中物體再進行觀察，去找一找我們今天認識的這個新圖形。

平行四邊形教案 篇7

　　練習要求：使學生進一步掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，能正確、熟練地計算它們的面積。

　　練習重點：正確運用公式計算所學的圖形的面積。

　　教具準備：投影

　　教學過程：

　　一、基本練習

　　1.回答下列各圖面積地計算公式和字母公式。

　　長方形長×寬ab

　　正方形邊長×邊長a2

　　平行四邊形底×高ah

　　三角形底×高÷2ah÷2

　　梯形（上底＋下底）×高÷2（a＋b）h÷2

　　2.平行四邊形、三角形、梯形的面積公式是怎樣推導出來的？

　　二、指導練習

　　1．練習十八第12題：計算下面每個圖形的面積。

　　3米8米12米

　　5.6米9.5米12米

　　5厘米

　　5.4

　　分5.8厘米5.2厘米

　　米

　　3分米5厘米7厘米

　　⑴省獨立審題，計算每個圖形的面積。

　　⑵師巡視，看同學們在計算書三角形和梯形的的面積時是否注意了“除以2”

　�、侵�6名學生板演，集體訂正。

　　2．練習十八第15題。生獨立審題并計算出三角形的面積，注意單位的換算。

　　三、課堂練習

　　練習十八第14題

　　四、攻破難題

　　1.16題：一個魚塘的形狀是梯形，它的上底長21米，下底長45米，面積是759平方米。它的高是多少？

　　分析與解：

　�、乓阎�梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2

　�、粕系祝�下底＝21＋45＝66米

　　⑶高＝759÷66×2＝23米20厘米

　　2.17題：已知右面梯形的上底

　　是20厘米，下底是34厘米，其中涂色

　　部分的面積是340平方厘米。這個梯形

　　的面積是多少？34厘米

　　分析與解：要求梯形的面積，但不知道高。根據(jù)陰影部分是三角形，又知道三角形的面積和底，可以求出它的高，也就是梯形的高，再算出梯形的面積。

　　高：340×2÷34＝20厘米，

　　面積：（34＋20）×20÷2＝540平方厘米

　　3.18題：在下面的梯形中，剪下一個最大的三角形，剩下的是什么圖形？剩下的圖形的面積是多少平方厘米？

　　15厘米

　　12厘米

　　25厘米

　　分析與解：以下底為底，一上底上的任意一點為三角形的`頂點剪下的三角形都是最大的。因為所有的三角形的底和高都沒有變，剩下的圖形可能是一個三角形，也可能是兩個三角形。

　�。�15＋25）×12÷2＝240平方厘米

　　25×12÷2＝150平方厘米

　　240－150＝90平方厘米

　　4.思考題4厘米

　　右圖中，梯形的面積是7212

　　平方厘米。請你算出陰影厘

　　部分的面積。米

　　解法一：先算出沒有陰影部分

　　的面積：4×12÷2＝24平方厘米，

　　再用梯形的面積減去這個三角形

　　的面積：72－24＝48平方厘米。

　　解法二：陰影部分是一個三角形，這個三角形的高是12厘米，底與梯形的下底是同一條線段，先算出梯形的下底：

　　72×2÷12－4＝8厘米

　　再算陰影部分的面積：8×12÷2＝48平方厘米。

　　五、作業(yè)

　　練習十八11、13題

平行四邊形教案 篇8

　　教學目標

　　知識技能目標

　　1．運用類比的方法，通過學生的合作探究，得出平行四邊形的判定方法．

　　2．理解平行四 邊形的這兩種判定方法，并學會簡單運用．

　　過程與方法目標

　　1．經(jīng)歷平行四邊行判別條的探索過程，在有關活動中發(fā)展學生的合情推理意識．

　　2 ．在運用平行四邊形的判定方法解決問題的過程中，進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力．

　　情感態(tài)度價值觀目標

　　通過平行四邊形判別條的探索，培養(yǎng)學生面對挑戰(zhàn)，勇于克服困難的意志，鼓勵學生大膽嘗試，從中獲得成功的體驗，激發(fā)學生的學習熱情．

　　教學重點：

　　平行四邊形判定方法的探究、運用．

　　教學難點：

　　對平行四邊形判定方法的探究以及平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合運用．

　　教學過程

　　第一環(huán)節(jié) 復習引入：

　�。� 3分鐘， 教師提出問題1，2，由學生獨立思考，并口答得出定義正反兩方面的作用，出平行四邊形的其他幾條性質(zhì)．）

　　問題1（多媒體展 示問題）

　　1．平行四邊形的定義是什么？它有什么作用？

　　2．平 行四邊形還有哪些性質(zhì)？

　　問題2

　　有一塊平行四邊形的玻璃塊，假如不小心碰碎了一部分，聰明的技師拿著細繩很快將原的平行四邊形畫了出，你知道他用的是什么方法嗎？

　　第二環(huán)節(jié) 探索活動（12分鐘，學生動手探究，小組合作）

　　活動1：

　　工具:兩根長度相等的筆,

　　兩條平行線(可利用橫格線）.

　　動手:請利用兩根長度相等的筆和兩條平行線,擺出以筆頂端為頂點的平行四邊形嗎?

　　思考1.1：你能說明你所擺出的四邊形是平行四邊形嗎？

　　思考1.2：以上活動事實,能用字語言表達嗎？

　　目的：

　　得出平行四邊形 的一個性質(zhì)：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

　　活動2

　　工具:兩根不同長度的細紙條.

　　動手:能否用這兩根細紙條在平面上

　　擺出平行四邊形？

　　思考2.1：你能說明你們擺出的四邊形是平行四邊形嗎？

　　思考2.2：以上活動事實,能用字語言表達嗎？

　　目的：

　　得出平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分的`四邊形是平行四邊形

　　第三環(huán)節(jié) 鞏固練習（20分鐘，學生思考討論再各自畫圖，畫好后互相交流畫法，教師巡回檢查．對個別學生稍加點撥）

　　隨堂練習：

　　1．已知：在平行四邊形ABCD 中，點E、F在對角線AC上，并且ＯE=ＯF．

　　(１)OA與OC，OB與OD相等嗎？

　　(２)四邊形BFDE是平行四邊形嗎？

　　(３)若點Ｅ，F(xiàn)在ＯＡ，ＯＣ的中點上，你能解決上述問題嗎？

　　2．再回到前問題：同學們想想看，有沒有辦法把原的平行四邊形重新畫出？

　�。ㄗ寣W生思考討論，再各自畫圖，畫好后互相 交流畫法，教師巡回檢查．對個別 學生稍加點撥，最后請學生回答畫圖方法）

　　學生想到的畫法有：

　　(1)分別過A，C作BC，BA的平行線，兩平行線相交于D；

　　(2）分別以A，C為圓心，以BC， BA的長為半徑畫弧，兩弧相交于D，連接AD，CD；

　　(3)這一種方法學生不易想到，即為平行四邊形對角線的特性，引導學生得出連線AC，取AC的中點O，再連接BO，并延長BO到D，使BO=DO，連接AD，CD．

　　第四環(huán)節(jié) 小結(jié)：（4分鐘，學生回答問題）

　　師生共同小結(jié)，主要圍繞下列幾個問題：

　�。�1）判定一個四邊形是平行四邊形的方法有哪幾種？這些方法是從什么角度去考慮的？

　�。�2）我們是通過什么方法得出平行四邊形的這幾種判定方法的，這樣的探索過程對你有什么啟發(fā)？

　�。�3）類比、觀察、拼圖、實驗等都是學習數(shù)學、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的常用方法．

　　第五環(huán)節(jié) 布置 作業(yè)：

　　B、C組（中等生和后三分之一生）本104頁習題4.3第1題、第2題

　　A組（優(yōu)等生）：① 對于隨堂練習題，若將G，H分別在OB ，OD上移動至與B，D重合，E，F(xiàn)分別在OA，OC上移動，使AE=CF（如圖），則結(jié)論還成立嗎？

　�、� 對于隨堂練習題，若E，F(xiàn)繼續(xù)移動至OA，OC的延長線上，仍使AE=CF（如圖），則結(jié)論還成立嗎？

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