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      四年級(jí)數(shù)學(xué)教案:《乘法運(yùn)算定律》

      時(shí)間:2024-04-09 10:24:20 教案 我要投稿
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      四年級(jí)數(shù)學(xué)教案:《乘法運(yùn)算定律》1

        教學(xué)內(nèi)容:教科書練習(xí)六的第6-13題。

        教學(xué)目的:通過綜合練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步熟悉學(xué)過的運(yùn)算定律,能夠運(yùn)用學(xué)過的運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。

        教具準(zhǔn)備:將下面復(fù)習(xí)中的題目寫在黑板上。

        教學(xué)過程:

        一、復(fù)習(xí)

        把下面相等的式子用線連起來,并說明符合什么運(yùn)算定律。

        a+ba×(b×c)

        (a+b+c)b+a

        (a×b)×ca+(b+c)

        a×ba×cc+b×c

        (a+b)×cb×a

        讓學(xué)生一個(gè)一個(gè)地在黑板上連線,并說明符合哪個(gè)運(yùn)算定律。

        教師:應(yīng)用這些運(yùn)算定律可以使一些計(jì)算簡(jiǎn)便。

        二、做練習(xí)六的第6題

        先讓學(xué)生獨(dú)立做,做完后集體核對(duì)。

        1、核對(duì)第6題時(shí),學(xué)生說出一種算法后,再提問:還有別的算法嗎?教師把學(xué)生所說的算式都寫在黑板上。

        提問:哪一種算法比較簡(jiǎn)便?請(qǐng)幾個(gè)學(xué)生發(fā)言。

        3、提前做完的學(xué)生可以做練習(xí)六的第11題和第13題。

        (1)第11題,做題時(shí)要讓學(xué)生特別明確口里填的是同一個(gè)數(shù)后,提問:

        “等號(hào)左面的`式子還能等于什么?根據(jù)是什么?”教師板書:3×口十2×口=(3+2)×口。

        想一想,5乘以什么數(shù)的積仍是這個(gè)數(shù)呢?“

        (2)第13題,是兩個(gè)數(shù)的差同乘以一個(gè)數(shù)的規(guī)律。開始先讓學(xué)生自己依照乘法分配律類推,再提問:

        “等號(hào)左面的算式表示什么意思?”(一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的差相乘。)

        “等號(hào)右面的算式表示什么意思?”(被減數(shù)和減數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘,再把兩個(gè)乘積相減。)

        教師:兩個(gè)算式中間用等號(hào)連起來,就表示一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的差相乘等于被減數(shù)和減數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘,再把兩個(gè)乘積相減,結(jié)果不變。

        “你能不能再用兩個(gè)其它的例子說明一下這個(gè)規(guī)律?”

        四、作業(yè)

        練習(xí)六的第9、10題。

      四年級(jí)數(shù)學(xué)教案:《乘法運(yùn)算定律》2

        教學(xué)目標(biāo):

        1、通過引導(dǎo)學(xué)生在探索的過程中,自主發(fā)現(xiàn)乘法分配律,并能用字母表示。

        2、經(jīng)歷共同探索的過程,培養(yǎng)解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)交流的能力。

        3、會(huì)用乘法分配律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算。

        重點(diǎn):探索、發(fā)現(xiàn)乘法分配律。

        難點(diǎn):乘法分配律的應(yīng)用。

        教學(xué)方法:通過講學(xué)練相結(jié)合,設(shè)計(jì)相應(yīng)的練習(xí)題,逐步理解抽象的乘法分配律。

        教學(xué)方法說明:“講”是師生共同梳理思路,表述思想;“學(xué)”是學(xué)生自主探究及合作交流的學(xué)習(xí)過程;“練”是設(shè)計(jì)由易到難層層遞進(jìn)有坡度的練習(xí)題促進(jìn)學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦中理解乘法分配律。

        教學(xué)準(zhǔn)備:課件

        教學(xué)過程:

        一、生活引入,感知規(guī)律(1分鐘)

        同學(xué)們,在家里爸爸和媽媽都很愛你們,用一句話來說就是“爸爸和媽媽都很愛我!边@句話分開還可以怎么說(引出:爸爸愛我,媽媽也愛我。)

        小結(jié):同樣一句話可以有不同的說法。生活中的這種現(xiàn)象在我們數(shù)學(xué)中是怎樣的呢,今天我們就一起來探索數(shù)學(xué)中的規(guī)律。

        [設(shè)計(jì)意圖]把數(shù)學(xué)知識(shí)依附于常見的現(xiàn)實(shí)生活問題中,引領(lǐng)學(xué)生發(fā)展自身靈性,尋求數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)問題間的本質(zhì)聯(lián)系,進(jìn)而合理處理相關(guān)信息,結(jié)合鮮活的數(shù)學(xué)材料,觸動(dòng)學(xué)生的道德碰撞,給原本單一冷漠的內(nèi)容注入人文的血液,促進(jìn)學(xué)生感悟、內(nèi)化。)

        二、開放探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律:(19分鐘)

        1、教學(xué)例7

        (課件出示植樹情境圖,)同學(xué)們的植樹干勁真大呀,為綠化校園貢獻(xiàn)自己的力量,有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動(dòng)呢,你們想知道嗎?(課件出示條件,)你能在圖中尋找到哪些數(shù)學(xué)信息?(1分鐘)(全班讀題并解題)

        提問:(每組中有8人負(fù)責(zé)挖坑、種樹,2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹,25組)

        課件問題出現(xiàn):一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動(dòng)?請(qǐng)用兩種不同的方法解答。

        (設(shè)計(jì)意圖:為學(xué)生提供問題情境,引導(dǎo)學(xué)生自主探究,培養(yǎng)學(xué)生的'自主探究能力,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。)

       。2)啟發(fā)思考:如何解答這個(gè)問題?請(qǐng)你用自己的方法來獨(dú)立完成這道題的列式計(jì)算。(2分鐘)

       。3)請(qǐng)兩名學(xué)生板演不同的列式方法,并講解題思路。(3分鐘)

        預(yù)設(shè)學(xué)生匯報(bào)兩種解法:(板演)

        方法一:先計(jì)算每組有多少名同學(xué)參加植樹活動(dòng),再算出25個(gè)小組一共有多少名同學(xué)參加植樹活動(dòng)。列式為:(8+2)×25

        方法二:先算出負(fù)責(zé)挖坑種樹的和負(fù)責(zé)抬水澆樹的各有多少人,再算出一共有多少名參加植樹活動(dòng)。

        列式為:8×25+2×25

        (4)分析比較。(5分鐘)

        師:你發(fā)現(xiàn)左邊的算式和右邊的算式什么相同的地方,又什么不同的地方?發(fā)現(xiàn)了跟你的同學(xué)在小組里交流。(學(xué)生討論)

        ①結(jié)果相同,所以這兩個(gè)算式之間可以用一個(gè)什么符號(hào)連接?(電腦演示:(8+2)×25 = 8×25+2×25

       、谶\(yùn)算順序不同,(8+2)×25是8和2的和乘25,而8×25+2×25是8和2分別同25相乘,再把積相加。

       、凼裁词恰胺謩e去乘”?(就是括號(hào)里面的兩個(gè)加數(shù)一個(gè)一個(gè)地跟外面的數(shù)相乘,然后相加。)

       、苄〗Y(jié):像這樣的規(guī)律就叫做乘法分配律。(課件出示乘法分配律概念)

       。5)交流概括。(1分鐘)

        師:全班同學(xué)讀一遍等式,誰能再用自己的語言來描述這個(gè)等式。

        生:(8+2)的和乘25,等于把8和2,分別與25相乘,再相加。

       。ㄔO(shè)計(jì)意圖:給學(xué)生充分交流的時(shí)間,通過合作發(fā)現(xiàn)知識(shí)規(guī)律,并進(jìn)行歸納匯報(bào),培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和探究品質(zhì))

        2、類比歸納總結(jié)規(guī)律(3分鐘)

        請(qǐng)?jiān)凇鹄锾钌稀埃尽,“﹤”或“﹦”?/p>

        (課件)(7+3)×5 ○ 7×5+3×5

        4×7+6×7 ○(4+6)×7

        40×(3+6)○ 40×3+40×6

       。ㄔO(shè)計(jì)意圖:通過多個(gè)例子,揭示乘法分配律的普遍規(guī)律,通過學(xué)生獨(dú)自思考組織語言后再小組合作交流,揭示本課難點(diǎn))

        3.應(yīng)用規(guī)律歸納定律(5分鐘)。

        ①誰能舉出符合以上特征的等式?(學(xué)生分小組交流,投影展示臺(tái))

       、谙襁@樣的等式例子還有很多,你能用一道式子來概括它們嗎?用你喜歡的方式來表示(提示:用圖形、用文字、用字母……)分小組探討。

        ③展示成果。將你的發(fā)現(xiàn)介紹給同學(xué)。

       。ā酰穑痢睿健酢痢睿稹痢

        (甲+乙)×丙=甲×丙+乙×丙

       、軞w納:為了統(tǒng)一,我們就用字母a、b、c來表示乘法分配律:

        用字母a、b、表示兩個(gè)加數(shù),c表示因數(shù),可以寫成:(a+b)×c=a×c+b×c。

       、菪〗Y(jié):用字母來表示乘法分配律,你覺怎樣?(簡(jiǎn)潔、明了。)這就是數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美。與以往學(xué)過的運(yùn)算定律相比,乘法分配律最大的特點(diǎn)就是含有兩級(jí)運(yùn)算,既有加法又有乘法。就是把相同的因數(shù)c公平地分配給兩個(gè)加數(shù)。為了幫助大家更好的理解乘法分配律,我可以讓a表示爸爸,b表示媽媽,×表示愛,c表示我。即:

       。╝+b)× c=a×c+b×c

        爸爸媽媽愛我,爸爸愛我,媽媽也愛我。

        [設(shè)計(jì)意圖]針對(duì)眾多的數(shù)學(xué)事實(shí),不急于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,而是讓學(xué)生運(yùn)用樸素的語言概括出這些等式的共同特點(diǎn),這些特點(diǎn)既是“乘法分配律”知識(shí)的雛形,更是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的漸進(jìn)臺(tái)階。在此基礎(chǔ)上引出規(guī)律,水到渠成。尤其是,讓學(xué)生用個(gè)性化的方式表示自己對(duì)乘法分配律的理解,更是有效的促進(jìn)了學(xué)生對(duì)規(guī)律意義的個(gè)性化感悟。)

        三、梳理知識(shí)、激活聯(lián)系(8分鐘)

       、偬钜惶睿海42+35)×2 =42○□+□○□ 16×(40+5)=□○□○□○□(1分鐘)

       、谙劝催\(yùn)算順序計(jì)算,再用乘法分配律計(jì)算。(要說明運(yùn)用運(yùn)算定律計(jì)算簡(jiǎn)便)(3分鐘)

        (80+4)×25(80+4)×25

        四、課堂小結(jié)(2分鐘)

        今天你學(xué)會(huì)了什么知識(shí)?(要求學(xué)生口述乘法分配律概念)

       。ㄔO(shè)計(jì)意圖:不能讓總結(jié)性提問只是走了過場(chǎng),通過這個(gè)環(huán)節(jié)切實(shí)起到梳理知識(shí),提高學(xué)生總結(jié)能力)

        五、課后作業(yè)(1分鐘)課本練習(xí)七第6題

        板書設(shè)計(jì):

        乘法分配律

        (8+2)×25 8×25+2×25

        =10 ×25 =200+50

        =250(人)=250(人)

        用字母表示:(a+b)×c=a×c+b×c

        幾個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘,可以先把它們分別與這個(gè)數(shù)分別相乘,再相加,結(jié)果不變。這叫做乘法分配律。

      四年級(jí)數(shù)學(xué)教案:《乘法運(yùn)算定律》3

        課題:乘法的意義和乘法交換律

        教學(xué)內(nèi)容:教科書第22頁的例1和例2,第22、23頁的乘法交換律,完成“做一做”中的題目和練習(xí)五的第1-2題。

        教學(xué)目的:使學(xué)生加深對(duì)乘法的意義和乘法各部分名稱的認(rèn)識(shí),理解并掌握乘法交換律,能夠用乘法交換律驗(yàn)算乘法,培養(yǎng)學(xué)生分析推理的能力。

        教學(xué)重點(diǎn):使學(xué)生加深對(duì)乘法的意義和乘法各部分名稱的認(rèn)識(shí),理解并掌握乘法交換律,能夠用乘法交換律驗(yàn)算乘法。

        教學(xué)難點(diǎn):培養(yǎng)學(xué)生分析推理的能力。

        教具、學(xué)具準(zhǔn)備:把下面復(fù)習(xí)中的題目寫在小黑板上,把例1的插圖放大掛圖。

        教學(xué)過程

        一、復(fù)習(xí)舊知,引起遷移。

        教師:我們?cè)谇懊鎻?fù)習(xí)總結(jié)了加法和減法,今天要復(fù)習(xí)總結(jié)乘法。

        教師出示復(fù)習(xí)題。

        1.同學(xué)們乘8輛汽車去參觀,平均每輛汽車坐45人。去參觀的一共有多少人?

        2.同學(xué)們做紙花。第一組做了45朵,第二組做的和第一組同樣多,第三組做了50朵。三個(gè)組一共做了多少朵?

        3.小榮家養(yǎng)鴨45只,養(yǎng)的雞是鴨的3倍。小榮家養(yǎng)雞多少只?

        4.小榮家養(yǎng)鴨45只,養(yǎng)的雞比鴨多90只。小榮家養(yǎng)雞多少只?

        先讓學(xué)生默讀題目,然后教師提問:

        “上面這些題目哪些題可以用乘法計(jì)算?為什么?”請(qǐng)三、四個(gè)學(xué)生逐題回答能不能用乘法計(jì)算。

        教師:第1題和第3題可以用乘法計(jì)算,因?yàn)檫@兩道題都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和。

        二、學(xué)習(xí)新知

        1、學(xué)習(xí)例1。

        出示例1的插圖,自學(xué):(1)要求盤里一共有多少個(gè)雞蛋可以怎樣求?有幾種求法?

        學(xué)生回答后教師板書:

        用加法計(jì)算:5+5+5+5+5+5=30(個(gè))

        用乘法計(jì)算:5×6=30(個(gè))

       。ǎ玻┏朔ㄋ闶5乘以6表示什么?(6個(gè)5相加。)

       。ǎ常┫嗤募訑(shù)是誰?

       。ǎ矗┫嗤募訑(shù)的個(gè)數(shù)是誰?

       。ǎ担┙獯疬@道題用加法計(jì)算簡(jiǎn)便,還是用乘法計(jì)算簡(jiǎn)便?

       。ǎ叮┠隳苷f出乘法是什么樣的運(yùn)算嗎?

        教師肯定學(xué)生的回答,再強(qiáng)調(diào)說明并板書;求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算,叫做乘法。接著讓學(xué)生看教科書第25頁,齊讀兩遍書上的結(jié)語。

        “乘法算式中乘號(hào)前面的數(shù)叫什么數(shù)?表示什么?”

        “乘法算式中乘號(hào)后面的數(shù)叫什么數(shù)?表示什么?”

        “被乘數(shù)和乘數(shù)又叫什么數(shù)?”,教師:學(xué)過因數(shù)以后,在一個(gè)算式中被乘數(shù)和乘數(shù)就可以不必嚴(yán)格區(qū)分了。

        2.自學(xué)乘數(shù)是1和0的乘法。

        (1)自學(xué)一個(gè)數(shù)和1相乘。

        完成下面的算式:1×3=、3×1=、1×1=。

        6×1=1×8=1×10=123×1=

        做完后讓幾個(gè)學(xué)生說一說你是怎樣理解的。

        教師邊說邊板書:一個(gè)數(shù)和1相乘,仍得原數(shù)。

        (2)自學(xué)一個(gè)數(shù)和0相乘。

        自學(xué)后,完成下面的算式:0×3=3×0=

        提問:“0乘以3等于什么?這個(gè)算式表示什么意思?”學(xué)生回答后教師板書:

        0×3=0表示3個(gè)0相加的和是0。

        “3乘以0等于什么?能不能說這個(gè)算式表示0個(gè)3相加?”先讓學(xué)生回答,教師再說明:0個(gè)3不能表示0個(gè)3相加,3乘以0就表示0個(gè)3還是0。

        板書:3×0=0。

        “0乘以0呢?”學(xué)生回答后,教師說明:0個(gè)0不能相加,0乘以0就表示0個(gè)0還是0,算式是:0×0=0。

        “這三個(gè)算式都和哪個(gè)數(shù)有關(guān)系?”(都和0有關(guān)系。)

        “一個(gè)數(shù)和0相乘它們的積有什么特點(diǎn)?”

        教師邊說邊板書:一個(gè)數(shù)和0相乘,仍得0。

        3.學(xué)習(xí)乘法交換律。

        讓學(xué)生帶著問題看例1的插圖,然后教師提問:

        (1)要求一共有多少雞蛋,用乘法計(jì)算還可以怎樣列式?“

       。6×5=30(個(gè)))。

        (2)比較一下這兩個(gè)乘法算式,有哪些相同?有哪些不同?

        討論后,多讓幾個(gè)學(xué)生發(fā)言,互相補(bǔ)充。

        師:這兩個(gè)算式都是兩個(gè)數(shù)相乖,只是兩個(gè)因數(shù)交換了位置,算出的結(jié)果相同。

        實(shí)踐:下面同學(xué)們舉幾個(gè)例子來驗(yàn)證一下這個(gè)結(jié)論是不是有普遍性。

        小組間進(jìn)行實(shí)踐。

        教師:“通拉上面這些乘法計(jì)算,可以看出兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,計(jì)算結(jié)果怎樣?”學(xué)生發(fā)言后,教師邊說邊板書:兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變,這叫做乘法交換律。

        *學(xué)生自學(xué)例2。

        “誰能夠用字母把乘法交換律表示出來?”教師板書:a×b=b×a

        “大家回憶一下,我們過去學(xué)習(xí)哪些知識(shí)時(shí)用了乘法交換律?”學(xué)生發(fā)言后,教師肯定學(xué)生的`回答,并明確指出:我們?cè)?jīng)用交換乘數(shù)和被乘數(shù)位置的方法進(jìn)行乘法驗(yàn)算,這實(shí)際上就是應(yīng)用了乘法交換律。

        三、鞏固練習(xí)

        1。做第23頁“做一做中的題目。先讓學(xué)生獨(dú)立做,然后再集體核對(duì)。

        2.做練習(xí)五的第1題。學(xué)生獨(dú)立做完以后,再集體核對(duì)。核對(duì)第2題的第4小題時(shí),可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算一下等號(hào):左面等于什么,等號(hào)右面等于什么。教師再說明:三個(gè)數(shù)連乘,相乘的因數(shù)交換了位置,乘積也不變,所以乘法交換律也適合三個(gè)數(shù)連乘的計(jì)算。

        四、作業(yè)

        練習(xí)五的第1、2題。

        教學(xué)設(shè)想:本課大膽地進(jìn)行了學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的嘗試,讓學(xué)生自己總結(jié)結(jié)論,并自己進(jìn)行驗(yàn)證,教師只是參與者,這樣充分發(fā)揮了學(xué)生的自主性。使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中,逐漸掌握探究性學(xué)習(xí)的方法。

        課后附記:

      四年級(jí)數(shù)學(xué)教案:《乘法運(yùn)算定律》4

        教學(xué)內(nèi)容:教科書第25頁的例1和第25、26頁的乘法交換律,完成“做一做”中的題目和練習(xí)五的第1——5題。

        教學(xué)目的:使學(xué)生加深對(duì)乘法的意義和乘法各部分名稱的認(rèn)識(shí),理解并掌握乘法交換律,能夠用乘法交換律驗(yàn)算乘法,培養(yǎng)學(xué)生分析推理的能力。

        教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn):乘法的意義和乘法交換律

        授課類型:新授課 練習(xí)課

        教學(xué)方法:討論法、講授法

        授課時(shí)間:一課時(shí)

        教具準(zhǔn)備:多媒體

        教學(xué)過程:

        一、復(fù)習(xí)

        教師出示復(fù)習(xí)題。

        1、同學(xué)們乘8輛汽車去參觀,平均每輛汽車坐45人。去參觀的一共有多少人?

        2、同學(xué)們做紙花。第一組做了45朵,第二組做的和第一組同樣多,第三組做了50朵。三個(gè)組一共做了多少朵?

        3、小榮家養(yǎng)鴨45只,養(yǎng)的雞比鴨多90只。小榮家養(yǎng)雞多少只?

        上面這些題哪些可以用乘法計(jì)算?為什么?

        二、新課

        1、教學(xué)例1。出示例1的插圖,再提問:要求盤里一共有多少個(gè)雞蛋可以怎樣求?還可以怎樣求?

        用加法計(jì)算:5+5+5+5+5+5=30(個(gè))

        用乘法計(jì)算:5×6=30(個(gè))

        解答這道題用乘法計(jì)算簡(jiǎn)便還是用加法計(jì)算簡(jiǎn)便?

        求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算,叫做乘法。

        在乘法里,乘號(hào)前面的數(shù)叫做被乘數(shù),乘號(hào)后面的數(shù)叫做乘數(shù),乘得的數(shù)叫做積。被乘數(shù)和乘數(shù)又叫做積的因數(shù)。

        注意:一個(gè)數(shù)和1相乘,仍得原數(shù)。例如:1×3=3 3×1=3 1×1=1

        一個(gè)數(shù)和0相乘,仍得0。例如:0×3=0 3×0=0 0×0=0

        2、教學(xué)乘法交換律。

        讓學(xué)生再看例1的插圖,然后教師提問:要求一共有多少個(gè)雞蛋,同乘法計(jì)算還可以這樣列式?學(xué)生回答后,教師板書:6×5=30(個(gè))

        比較一下這兩個(gè)乘法算式,有哪些相同?有哪些不同?

        學(xué)生發(fā)言后,教師邊說邊板書:兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的.位置,它們的積不變,這叫做乘法的交換律。

        用字母表示:a×b=b×a

        三、鞏固練習(xí):

        1、做第26頁“做一做”的題目。先讓學(xué)生獨(dú)立做,然后再集體核對(duì)。

        2、做練習(xí)五的第3、4題。學(xué)生獨(dú)立做完后,再集體核對(duì)。

        四、作業(yè):練習(xí)五的第1、2、5題。

        小結(jié):今天我們學(xué)了什么?什么叫乘法的交換律?

        附板書:乘法的意義和乘法交換律

        用加法計(jì)算:5+5+5+5+5+5=30(個(gè))

        用乘法計(jì)算:5×6=30(個(gè))

        求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算,叫做乘法。

        在乘法里,乘號(hào)前面的數(shù)叫做被乘數(shù),乘號(hào)后面的數(shù)叫做乘數(shù),乘得的數(shù)叫做積。被乘數(shù)和乘數(shù)又叫做積的因數(shù)。

        注意:一個(gè)數(shù)和1相乘,仍得原數(shù)。例如:1×3=3 3×1=3 1×1=1

        一個(gè)數(shù) 和0相乘,仍得0。例如:0×3=0 3×0=0 0×0=0

        兩個(gè)數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,它們的積不變,這叫做乘法的交換律。

        用字母表示:a×b=b×a

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