不等式的證明課堂實錄

　　在現(xiàn)實生活或工作學(xué)習(xí)中，大家都寫過證明吧，證明就是用可靠的證據(jù)證明有關(guān)人員或事情的真實情況的書面材料。那么什么樣的證明才是規(guī)范的呢？下面是小編收集整理的不等式的證明課堂實錄，僅供參考，歡迎大家閱讀。

　　一、不等式證明的常用方法和基本不等式

　　師：前面我們復(fù)習(xí)了不等式的性質(zhì)，現(xiàn)在開始復(fù)習(xí)不等式的證明.下面我們先來看一個問題：

　　[例1]求證：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　如何證明這個不等式呢？我們回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？

　　生：比較法、分析法和綜合法.

　　師：什么是比較法？這個不等式能不能用比較法來證明？

　　生：要證明a＞b，只要證明a-b＞0，這就是不等式證明的比較法，這個不等式能用比較法證明.

　　證法一

　　∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

　　=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

　　=(bc-ad)2≥0

　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　師：用比較法證明不等式的基本步驟有哪些？

　　生：有三步：(1)作差(2)變形(3)確定符號

　　師：什么是分析法？這個不等式能不能用分析法來證明？

　　生：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題；如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法就是不等式證明的分析法.這個不等式能用分析法來證明.

　　證法二

　　要證明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　只要證明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

　　也就是證明b2c2+a2d2≥2abcd

　　即(bc-ad)2≥0

　　∵(bc-ad)2≥0成立

　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立

　　(教師指出應(yīng)用分析法證明時要注意書寫格式)

　　師：什么是綜合法？這個不等式能不能用綜合法來證明？

　　生：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法是不等式證明的綜合法，這個不等式能用綜合法來證明.

　　證法三

　　∵b2c2+a2d2≥2abcd

　　∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

　　即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　師：應(yīng)用綜合法證明的關(guān)鍵是找出作為基礎(chǔ)的已經(jīng)證明過的不等式.這些不等式大都是基本不等式，主要有：

　　a2+b2≥2ab(a、b∈R)

　　(a、b∈R+)

　　這里要注意：

　　(1)不等式成立的條件，字母的允許值范圍；

　　(2)當且僅當a=b時，等號成立.

　　[這里改變了高三復(fù)習(xí)課先整理知識，然后講解例題的傳統(tǒng)模式，而是先提出問題讓學(xué)生思考，創(chuàng)設(shè)問題情境，激起學(xué)生復(fù)習(xí)的欲望和要求，喚起學(xué)生對舊知識的回憶，引起學(xué)生的思維.這樣可以提高學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性.在此基礎(chǔ)上，通過教師的啟發(fā)，讓學(xué)生自己逐步回憶過去所學(xué)的知識，應(yīng)用它們來分析問題和解決問題，最好引導(dǎo)學(xué)生自己歸納、整理舊知識，形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).]

　　二、不等式證明方法的應(yīng)用

　　[例2]已知a、b、c是不全相等的正數(shù).

　　求證：

　　(先讓學(xué)生議論，然后由學(xué)生起來回答，教師板書.)

　　證明：∵

　　a、b、c是不全相等的正數(shù)

　　∴①②③中等號不同時成立

　　∴

　　即

　　(如果學(xué)生按上述步驟進行證明，教師應(yīng)提出：這樣證明有沒有問題？讓學(xué)生通過思考后發(fā)現(xiàn)：在證明一開始必須先指出a、b、c∈R+，否則不能確定①、②、③是否成立.)

　　師：在證明不等式時，應(yīng)注意以下幾點：

　　(1)不等式的逆向運用，要證明不等式可以先證明它的逆向不等式.

　　(2)已知條件在不等式證明中的應(yīng)用.由于a、b、c是三個不全相等的正數(shù)，從而得出①、②、③中三個等號不同時成立，于是才能證得原不等式成立.

　　(3)同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.

　　[例3]已知a、b、c∈R+，求證：

　　(師生共同進行分析)

　　要證明

　　只要證明

　　也就是證明

　　如何證明這個不等式呢？(讓學(xué)生議論后回答)

　　生：∵a、b∈R+

　　∴

　　∴

　　師：這樣證明有沒有問題？生：(回答略)

　　師：在證明中必須注意：

　　這是因為兩個同向不等式相乘，必須兩個不等式的兩邊都是正的，才能運用不等式性質(zhì)得出正確的結(jié)論.

　　通過討論我們可以得出如下結(jié)論：

　　(1)在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后運用綜合法來表達.

　　(2)在不等式證明中常常要綜合應(yīng)用其他的數(shù)學(xué)知識，如例3中要應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的增減性來證明.

　　(3)同向不等式相乘也是用綜合法證明不等式的常用手段.

　　[復(fù)習(xí)基本方法除了理解方法本身以外，重點是復(fù)習(xí)它的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握運用基本方法的規(guī)律以及在運用時應(yīng)注意的問題.在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后用綜合法表達，在運用綜合法時，同向不等式相加和相乘又是常用的手段，還有不等式的逆向運用問題.在不等式證明的過程中，特別要注意基本不等式和不等式性質(zhì)運用時所必須具備的條件，所有這些都必須通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生掌握.這里還運用提出問題、分析問題和解決問題的方式來進行復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，通過討論，自己總結(jié)規(guī)律，掌握方法，提高能力，充分發(fā)揮他們的主體作用，提高復(fù)習(xí)效果.]

　　三、不等式證明方法的靈活應(yīng)用

　　師：下面請同學(xué)們探討一下例4的解法

　　[例4]已知a、b、c∈R+，求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

　　(在學(xué)生獨立思考和練習(xí)的基礎(chǔ)上，組織課堂討論，要求用多種方法證明這個不等式.)

　　證法一：∵a、b、c∈R+

　　∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc

　　=a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2-6abc

　　=ab2+ac2-2abc+bc2+a2b-2abc+a2c+b2c-2abc

　　=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2≥0

　　∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

　　證法二：∵a、b、c∈R+

　　∴

　　則

　　同理

　　∴

　　證法三：因為a、b、c∈R+，所以要證明

　　ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc

　　只要證明

　　也就是證明

　　∵a、b、c∈R+

　　∴，，

　　∴成立

　　∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc成立.

　　師：經(jīng)過討論，同學(xué)們提供了許多好的解題方法，若還有其他方法的話，請大家課后繼續(xù)思考和討論.

　　[高三復(fù)習(xí)不僅要加強基礎(chǔ)，而且要提高能力，特別要提高思維能力，這是提高復(fù)習(xí)質(zhì)量的重要關(guān)鍵之一.在進行解題思維訓(xùn)練時，重點是啟發(fā)學(xué)生根據(jù)問題的條件和結(jié)論所提供的信息，結(jié)合已經(jīng)掌握的知識，探索解決問題的思路和尋找解決問題的方法，對于例4這樣一個不等式證明問題，可以從三種常用證法的角度來思考，從而得出幾種不同的思維途徑.]

　　四、小結(jié)

　　五、作業(yè)(略)

　　點評：高三復(fù)習(xí)的目的是使學(xué)生進一步系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，進一步提高運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力以及綜合運用數(shù)學(xué)知識靈活地分析和解決問題的能力.因此本課在教學(xué)內(nèi)容的選擇上既加強基礎(chǔ)，又提高能力和發(fā)展智力既全面復(fù)習(xí)，又突出重點.本課教學(xué)首先抓住了三種常用的證明方法和兩個基本不等式.此外，還通過典型例題的分析，讓學(xué)生能熟練地運用各種方法來證明不等式，以提高學(xué)生的思維能力和分析問題、解決問題的能力.在教學(xué)內(nèi)容的安排上按認識規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識結(jié)構(gòu).

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